大數法則(Law of large numbers)

大數定律又稱大數法則、大數律，是個數學與統計學的概念，意指數量越多，則其平均就越趨近期望值。
人們發現，在重複試驗中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值；人們同時也發現，在對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定性。
切比雪夫定理的一個特殊情況、辛欽定理和伯努利大數定理都概括了這一現象，都稱為大數定律。

1.辛欽定理

設 $a_1 , a_2 , ... , a_n , ...$ 為服從同一分布且相互獨立的隨機變數，其數學期望為： $E(a_i) = \mu$ $(i = 1,2,...)$ ，

則對任意正數 $\varepsilon >0$ ，下式成立：

$\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i - \mu \right| < \varepsilon \right\}}} = 1$

2.伯努利大數定理

設在 $n$ 次獨立重複伯努利試驗中，
事件 $X$ 發生的次數為 $n_x$ 。
事件 $X$ 在每次試驗中發生的母體機率為 $p$ 。
$n_x/n$ 代表樣本發生事件 $X$ 的頻率。

大數定理可用機率極限值定義: 則對任意正數 $\varepsilon >0$ ，下式成立：

$\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{n_x}{n} - p \right| < \varepsilon \right\}}} = 1$

定理表明事件發生的頻率依機率收斂於事件的母體機率。
定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性。
就是說當n很大時，事件發生的頻率於母體機率有較大偏差的可能性很小。

資料來源：維基百科

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標籤：生物統計學(Biostatistics)

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